8. В параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ точки E и F — середины рёбер AD и BC соответственно. Докажите, что плоскость A₁EF параллельна плоскости B₁DC.

Введём координаты: A = 0, B = b, D = d, A₁ = v. Тогда C = b + d, B₁ = b + v. Так как E и F — середины AD и BC, имеем E = d/2 и F = b + d/2.

Направляющие векторы плоскости A₁EF:

EF = b, A₁E = d/2 − v.

Для плоскости B₁DC направляющие векторы:

DC = b, DB₁ = b + v − d.

Вектор DB₁ равен b − 2A₁E, поэтому он является линейной комбинацией направляющих векторов плоскости A₁EF. Обратно, A₁E = (b − DB₁)/2. Значит, обе плоскости имеют одно и то же направление. Они не совпадают: точка D не принадлежит плоскости A₁EF в невырожденном параллелепипеде. Следовательно, плоскости параллельны.

Ответ: (A₁EF) ∥ (B₁DC).