7. По координатам точек А,В и С определить вид \(\triangle ABC\) A(5;-5;-1), B(5; -3;-1), C(4;-3; 0)

Решение:

Для определения вида треугольника \( \triangle ABC \) найдём длины его сторон, используя формулу расстояния между двумя точками в пространстве: \( d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2} \).

1. Длина стороны AB:

\( A(5; -5; -1) \), \( B(5; -3; -1) \)

\[ AB = \sqrt{(5-5)^2 + (-3 - (-5))^2 + (-1 - (-1))^2} = \sqrt{0^2 + (2)^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2 \]

2. Длина стороны BC:

\( B(5; -3; -1) \), \( C(4; -3; 0) \)

\[ BC = \sqrt{(4-5)^2 + (-3 - (-3))^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \]

3. Длина стороны AC:

\( A(5; -5; -1) \), \( C(4; -3; 0) \)

\[ AC = \sqrt{(4-5)^2 + (-3 - (-5))^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{(-1)^2 + (2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \]

Сравним длины сторон: \( AB = 2 \), \( BC = \sqrt{2} \), \( AC = \sqrt{6} \).

Так как все стороны имеют разную длину \( (2 \neq \sqrt{2} \neq \sqrt{6}) \), треугольник является разносторонним.

Проверим, является ли треугольник прямоугольным, используя теорему Пифагора \( a^2 + b^2 = c^2 \):

\( AB^2 = 2^2 = 4 \)

\( BC^2 = (\sqrt{2})^2 = 2 \)

\( AC^2 = (\sqrt{6})^2 = 6 \)

Проверяем:

\[ 4 + 2 = 6 \]

\[ AB^2 + BC^2 = AC^2 \]

Так как сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей стороны, треугольник \( \triangle ABC \) является прямоугольным (прямой угол при вершине B).

Ответ: \( \triangle ABC \) — прямоугольный разносторонний треугольник.