8. Даны векторы А(6; -5; 7), B(0; -11; -2). Найти скалярное произведение этих векторов и определить какой угол между ними.

Решение:

Скалярное произведение векторов \( \vec{A} \) и \( \vec{B} \) вычисляется по формуле:

\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = x_A x_B + y_A y_B + z_A z_B \]

Подставим координаты данных векторов:

\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = (6 \cdot 0) + ((-5) \cdot (-11)) + (7 \cdot (-2)) \]

\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = 0 + 55 - 14 \]

\[ \vec{A} \cdot \vec{B} = 41 \]

Угол между векторами определяется по формуле:

\[ \cos \alpha = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}| \cdot |\vec{B}|} \]

Сначала найдём длины векторов:

\[ |\vec{A}| = \sqrt{6^2 + (-5)^2 + 7^2} = \sqrt{36 + 25 + 49} = \sqrt{110} \]

\[ |\vec{B}| = \sqrt{0^2 + (-11)^2 + (-2)^2} = \sqrt{0 + 121 + 4} = \sqrt{125} \]

Теперь найдём косинус угла между векторами:

\[ \cos \alpha = \frac{41}{\sqrt{110} \cdot \sqrt{125}} = \frac{41}{\sqrt{13750}} \]

Так как скалярное произведение \( \vec{A} \cdot \vec{B} = 41 > 0 \), угол между векторами острый.

Ответ: Скалярное произведение равно 41. Угол между векторами острый, \( \cos \alpha = \frac{41}{\sqrt{13750}} \).