7. Постройте график функции y = (x-2)/(2x-x^2).

Решение:

Запишем функцию в виде: \( y = \frac{x-2}{x(2-x)} \).

Заметим, что \( x-2 = -(2-x) \). Поэтому, при \( x \neq 2 \) и \( x \neq 0 \), функцию можно упростить:

\( y = \frac{-(2-x)}{x(2-x)} = -\frac{1}{x} \).

График функции \( y = -\frac{1}{x} \) — это гипербола, которая строится следующим образом:

1. Найдём точки графика \( y = -\frac{1}{x} \):
   • При \( x = -2 \), \( y = -\frac{1}{-2} = 0.5 \).
   • При \( x = -1 \), \( y = -\frac{1}{-1} = 1 \).
   • При \( x = 1 \), \( y = -\frac{1}{1} = -1 \).
   • При \( x = 2 \), значение \( y \) не определено из-за деления на ноль в исходной функции.
2. Учтём, что \( x = 0 \) и \( x = 2 \) являются точками разрыва (вертикальные асимптоты или выколотые точки). В исходной функции \( y = \frac{x-2}{2x-x^2} \), знаменатель \( 2x - x^2 = x(2-x) \) обращается в ноль при \( x=0 \) и \( x=2 \).
3. При \( x \to 2 \) значение \( y = -\frac{1}{x} \) стремится к \( -\frac{1}{2} \). Таким образом, в точке \( x=2 \) будет выколотая точка с координатами \( (2, -0.5) \).
4. При \( x \to 0 \), \( y = -\frac{1}{x} \) стремится к \( \pm \infty \). Таким образом, \( x=0 \) является вертикальной асимптотой.
5. Горизонтальной асимптотой является \( y=0 \) (ось абсцисс).

Ответ: График функции — гипербола \( y = -\frac{1}{x} \) с выколотой точкой в \( (2, -0.5) \) и вертикальной асимптотой \( x=0 \).