7. Постройте график квадратичной функции \(y=2x^2-6x+4\) и опишите свойства этой функции.

Выделим полный квадрат:

\(y=2(x^2-3x+2)=2\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{2}\).

Это парабола с ветвями вверх. Вершина: \(\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{2}\right)\), ось симметрии: \(x=\frac{3}{2}\).

Нули функции:

\(2x^2-6x+4=2(x-1)(x-2)=0\), поэтому \(x=1\) и \(x=2\).

Пересечение с осью \(Oy\): точка \((0;4)\).

Функция убывает на \(\left(-\infty;\frac{3}{2}\right]\) и возрастает на \(\left[\frac{3}{2};+\infty\right)\). Наименьшее значение равно \(-\frac12\). Область определения: все действительные числа; область значений: \(y\ge-\frac12\).

Ответ: вершина \(\left(\frac32;-\frac12\right)\), ось симметрии \(x=\frac32\), нули \(1\) и \(2\), ветви направлены вверх.