7. При каких значениях \(b\) значение выражения \(\frac{(b-2)^2+8b+1}{b}\) является целым?

Область допустимых значений: \(b\ne0\). Упростим выражение: \(\frac{b^2-4b+4+8b+1}{b}=b+4+\frac5b\).

Если подразумеваются целые значения \(b\), то целым будет и \(\frac5b\). Поэтому целое ненулевое \(b\) должно быть делителем числа 5: \(b=-5,-1,1,5\). Для них значения выражения равны соответственно \(-2,0,10,10\).

Если же \(b\) может быть любым действительным числом, то условие можно записать так: для некоторого целого \(n\), \(b^2+(4-n)b+5=0\). Действительные решения существуют при \(|n-4|\ge2\sqrt5\), то есть при целом \(n\le-1\) или \(n\ge9\); соответствующие значения \(b\) равны \(\frac{n-4\pm\sqrt{(n-4)^2-20}}2\).

Ответ: при целых \(b\) — \(-5,-1,1,5\). Для действительных \(b\) подходят значения, указанные во втором случае.