7. При каких значениях \(x\) значение выражения \(\frac{(3x-1)^2-6x+6}{x}\) является целым?

Сначала учитываем, что знаменатель не равен нулю: \(x\ne0\). Раскроем скобки в числителе:

\((3x-1)^2-6x+6=9x^2-6x+1-6x+6=9x^2-12x+7\).

Разделим каждый член числителя на \(x\):

\(\frac{9x^2-12x+7}{x}=9x-12+\frac7x\).

Для произвольного действительного \(x\) целочисленность зависит от значения \(x\); если подразумеваются целые \(x\), то целое значение получается ровно тогда, когда \(x\) — целый делитель числа 7. Проверяем целые делители: \(x\in\{-7,-1,1,7\}\).

Ответ: если \(x\) — целое число, то \(x=-7,-1,1,7\). Без условия, что \(x\) целое, допустимые значения зависят от множества, в котором выбирают \(x\).