7. При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 88% случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 92% случаев. Известно, что средний тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач получил положительный результат. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?

Обозначим наличие заболевания через \(D\), а положительный результат теста через \(+\). Дано: \(P(+\mid D)=0.88\), \(P(-\mid\overline D)=0.92\), следовательно, \(P(+\mid\overline D)=0.08\), и \(P(+)=0.10\).

По формуле Байеса:

\(P(D\mid +)=\frac{P(+\mid D)P(D)}{P(+)}\).

Сначала найдём распространённость заболевания \(P(D)\) из формулы полной вероятности:

\(0.10=0.88P(D)+0.08(1-P(D))\).

\(0.02=0.80P(D)\), поэтому \(P(D)=0.025\).

Тогда \(P(D\mid +)=\frac{0.88\cdot0.025}{0.10}=0.22\).

Ответ: 0.22, или 22%.