7. Расстояние от O — точки пересечения диагоналей ромба ABCD — до одной из его сторон равно 28, а диагональ AC равна 112. Найдите углы ромба.

Обозначим вторую диагональ через BD, а сторону ромба — через a. Расстояние от центра ромба до стороны — радиус вписанной окружности: r = площадь ÷ (2a). Площадь ромба также равна AC · BD ÷ 2.

Следовательно, 28 = (112 · BD ÷ 2) ÷ (2a), откуда BD = a. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому a² = 56² + (BD ÷ 2)². Подставляя BD = a, получаем a² = 56² + a² ÷ 4, значит a² = 4 · 56² ÷ 3 и BD = 112 ÷ √3.

В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей, отношение половины BD к половине AC равно 1/√3. Значит, половина угла A равна 30°, а угол A равен 60°. Соседние углы ромба supplementary: 180° − 60° = 120°.

Ответ: углы ромба равны 60°, 120°, 60°, 120°.