7. Решить неравенство методом интервалов: (x-3) / ((2x-7)(x+1)) ≤ 0

Решение:

Найдем корни числителя и знаменателя:

• Числитель: \( x - 3 = 0 \) \( → x = 3 \).
• Знаменатель: \( (2x - 7)(x + 1) = 0 \) \( → 2x - 7 = 0 \) или \( x + 1 = 0 \). \( → x = 3,5 \) или \( x = -1 \).

Отметим эти точки на числовой оси: \( -1, 3, 3.5 \). Точки \( -1 \) и \( 3.5 \) — выколотые (знаменатель не может быть равен нулю), точка \( 3 \) — закрашенная (неравенство \( ≤ 0 \)).

Определим знаки на интервалах:

• При \( x > 3.5 \) (например, \( x=4 \)): \( \frac{4-3}{(2\cdot4-7)(4+1)} = \frac{1}{(1)(5)} = \frac{1}{5} > 0 \).
• На интервале \( (3; 3.5) \) (например, \( x=3.1 \)): \( \frac{3.1-3}{(2\cdot3.1-7)(3.1+1)} = \frac{0.1}{(6.2-7)(4.1)} = \frac{0.1}{(-0.8)(4.1)} < 0 \).
• На интервале \( (-1; 3) \) (например, \( x=0 \)): \( \frac{0-3}{(2\cdot0-7)(0+1)} = \frac{-3}{(-7)(1)} = \frac{-3}{-7} = \frac{3}{7} > 0 \).
• На интервале \( (-\infty; -1) \) (например, \( x=-2 \)): \( \frac{-2-3}{(2\cdot(-2)-7)(-2+1)} = \frac{-5}{(-4-7)(-1)} = \frac{-5}{(-11)(-1)} = \frac{-5}{11} < 0 \).

Нам нужно, где выражение \( ≤ 0 \). Это интервалы \( (-\infty; -1) \) и \( (3; 3.5) \). Учитывая, что \( x=3 \) входит в решение, получаем:

\[ (-\infty; -1) \cup [3; 3.5) \]

Ответ: \(-\infty;-1\)U[3;3,5)