7. Решите неравенство $$7^{\frac{x^2-6}{x}} > 7$$.

Решение:

Так как основание степени (7) больше 1, при сравнении степеней знак неравенства сохраняется:

\[ \frac{x^2-6}{x} > 1 \]

Перенесём 1 в левую часть и приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{x^2-6}{x} - 1 > 0 \]\[ \frac{x^2 - 6 - x}{x} > 0 \]

Разложим числитель на множители. Корни уравнения \( x^2 - x - 6 = 0 \) находятся по теореме Виета: \( x_1 = 3, x_2 = -2 \).

\[ \frac{(x-3)(x+2)}{x} > 0 \]

Рассмотрим знаки выражений на интервалах, определяемых корнями \( -2, 0, 3 \):

• Интервал \( (-\infty, -2) \): \( (-)(-) / (-) = (-) \)
• Интервал \( (-2, 0) \): \( (-)(+) / (-) = (+) \)
• Интервал \( (0, 3) \): \( (-)(+) / (+) = (-) \)
• Интервал \( (3, \infty) \): \( (+)(+) / (+) = (+) \)

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля.

Ответ: $$x \in (-2; 0) \cup (3; \infty)$$.