7. Решите систему уравнений x - 4y = 2, xy + 2y = 8.

Решение:

Решим систему уравнений:

1. \( x - 4y = 2 \)
2. \( xy + 2y = 8 \)

Из первого уравнения выразим \( x \):

\[ x = 4y + 2 \]

Подставим это выражение для \( x \) во второе уравнение:

\[ (4y + 2)y + 2y = 8 \]

Раскроем скобки и приведём подобные члены:

\[ 4y^2 + 2y + 2y = 8 \]

\( 4y^2 + 4y = 8 \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( 4y^2 + 4y - 8 = 0 \)

Разделим все члены на 4, чтобы упростить уравнение:

\( y^2 + y - 2 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение для \( y \) с помощью дискриминанта:

1. Коэффициенты: \( a = 1 \), \( b = 1 \), \( c = -2 \).
2. Дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \).
3. Корни уравнения: \( y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).
4. \( y_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
5. \( y_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)

Теперь найдём соответствующие значения \( x \) для каждого значения \( y \), используя уравнение \( x = 4y + 2 \).

При \( y_1 = 1 \):

\( x_1 = 4(1) + 2 = 4 + 2 = 6 \)

При \( y_2 = -2 \):

\( x_2 = 4(-2) + 2 = -8 + 2 = -6 \)

Таким образом, система имеет два решения:

\( (x, y) = (6, 1) \) и \( (x, y) = (-6, -2) \).

Ответ: (6; 1), (-6; -2).