7. Резисторы поочерёдно подключают к источнику постоянного тока. Сопротивления резисторов равны, соответственно, 3 Ом и 12 Ом. Мощность тока в резисторах одинакова. Чему равно внутреннее сопротивление источника тока?

Дано:

• Сопротивление первого резистора, R1 = 3 Ом
• Сопротивление второго резистора, R2 = 12 Ом
• Мощность в первом случае, P1 = Мощность во втором случае, P2
• Внутреннее сопротивление источника, r = ?

Найти:

• Внутреннее сопротивление источника, r

Решение:

Мощность, выделяемая во внешней цепи, равна P = I^2 × R. По закону Ома для полной цепи, сила тока I = E / (R + r), где E — ЭДС источника.

Тогда мощность можно записать как: P = (E / (R + r))^2 × R.

По условию, мощность одинакова для двух резисторов:

\[ P1 = \frac{E^2 × R1}{(R1 + r)^2} = \frac{E^2 × R2}{(R2 + r)^2} = P2 \]

Сокращаем E^2 (так как источник один):

\[ \frac{R1}{(R1 + r)^2} = \frac{R2}{(R2 + r)^2} \]

Подставляем значения R1 и R2:

\[ \frac{3}{(3 + r)^2} = \frac{12}{(12 + r)^2} \]

Разделим обе части на 3:

\[ \frac{1}{(3 + r)^2} = \frac{4}{(12 + r)^2} \]

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

\[ \frac{1}{3 + r} = \frac{2}{12 + r} \]

Решаем уравнение:

\[ 12 + r = 2(3 + r) \]

\[ 12 + r = 6 + 2r \]

\[ 12 - 6 = 2r - r \]

\[ r = 6 \text{ Ом} \]

Ответ: 6 Ом