7. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 0,96. Диаметр описанной около него окружности равен 25. Найдите площадь прямоугольника.

Задание 7. Площадь прямоугольника

Дано:

• Синус угла между стороной и диагональю: \( син(α) = 0.96 \).
• Диаметр описанной окружности: \( D = 25 \) (это также диагональ прямоугольника).

Найти: площадь прямоугольника \( S \).

Решение:

1. Диагональ прямоугольника равна диаметру описанной окружности, то есть \( d = 25 \).
2. Обозначим стороны прямоугольника как \( a \) и \( b \), а диагональ как \( d \). Пусть \( α \) - угол между стороной \( a \) и диагональю \( d \).
3. В прямоугольном треугольнике, образованном сторонами \( a, b \) и диагональю \( d \), синус угла \( α \) равен отношению противолежащего катета (стороны \( b \)) к гипотенузе (диагонали \( d \)): \( син(α) = \frac{b}{d} \).
4. Вычислим длину стороны \( b \): \( b = d × син(α) = 25 × 0.96 = 24 \) (единицы измерения).
5. Найдем косинус угла \( α \). Так как \( син^2(α) + сос^2(α) = 1 \), то \( сос^2(α) = 1 - 0.96^2 = 1 - 0.9216 = 0.0784 \). Следовательно, \( сос(α) = .28 \).
6. Косинус угла \( α \) равен отношению прилежащего катета (стороны \( a \)) к гипотенузе (диагонали \( d \)): \( сос(α) = \frac{a}{d} \).
7. Вычислим длину стороны \( a \): \( a = d × сос(α) = 25 × 0.28 = 7 \) (единицы измерения).
8. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: \( S = a × b = 7 × 24 = 168 \) (квадратные единицы).

Ответ: 168.