7. Сколько существует натуральных чисел, которые начинаются с цифры 1, заканчиваются цифрой 9, и у которых каждая следующая цифра больше предыдущей?

Между первой цифрой 1 и последней цифрой 9 можно выбрать любые цифры из множества \(\{2,3,4,5,6,7,8\}\). Выбранные цифры записываются в возрастающем порядке, поэтому каждый выбор задаёт ровно одно число. Для каждой из семи цифр есть два варианта: включить её или не включать.

Итак, число вариантов равно \(2^7=128\), включая число 19, в котором промежуточные цифры не выбраны.

Ответ: 128 чисел.