7. Сократите дробь: \(\frac{36^m}{3^{2m-1} \cdot 4^{m-2}}\)

Решение:

Преобразуем числитель и знаменатель, чтобы привести их к одному основанию степени:

\( 36^m = (6^2)^m = 6^{2m} = (2 \cdot 3)^ {2m} = 2^{2m} \cdot 3^{2m} \)

\( 3^{2m-1} = 3^{2m} \cdot 3^{-1} = \frac{3^{2m}}{3} \)

\( 4^{m-2} = (2^2)^{m-2} = 2^{2(m-2)} = 2^{2m-4} = \frac{2^{2m}}{2^4} = \frac{2^{2m}}{16} \)

Теперь подставим преобразованные выражения в дробь:

\( \frac{36^m}{3^{2m-1} \cdot 4^{m-2}} = \frac{2^{2m} \cdot 3^{2m}}{\frac{3^{2m}}{3} \cdot \frac{2^{2m}}{16}} = \frac{2^{2m} \cdot 3^{2m}}{\frac{2^{2m} \cdot 3^{2m}}{3 \cdot 16}} = \frac{2^{2m} \cdot 3^{2m} \cdot 3 \cdot 16}{2^{2m} \cdot 3^{2m}} \)

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

\( \frac{\cancel{2^{2m}} \cdot \cancel{3^{2m}} \cdot 3 \cdot 16}{\cancel{2^{2m}} \cdot \cancel{3^{2m}}} = 3 \cdot 16 = 48 \)

Ответ: 48.