7. Теплоход прошёл 108 км по течению реки и 84 км против течения, затратив на весь путь 8 ч. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 3 км/ч.

Пусть \(v\) км/ч — собственная скорость теплохода. Тогда его скорости по течению и против течения равны соответственно \(v+3\) и \(v-3\), причём \(v>3\).

Составим уравнение по формуле «время = расстояние / скорость»:

\(\frac{108}{v+3}+\frac{84}{v-3}=8\).

Умножим на \((v+3)(v-3)\):

\(108(v-3)+84(v+3)=8(v^2-9)\).

После упрощения получаем \(8v^2-192v+24=0\), или \(v^2-24v+3=0\).

По формуле корней: \(v=\frac{24\pm\sqrt{576-12}}{2}=12\pm\sqrt{141}\). Условию \(v>3\) удовлетворяют оба корня, но при меньшем корне \(12-\sqrt{141}<3\), поэтому он не подходит. Остаётся \(v=12+\sqrt{141}\approx23.87\).

Ответ: \(12+\sqrt{141}\) км/ч, приблизительно 23.87 км/ч.