7. Три окружности, радиусы которых равны 2, 3 и 10, попарно касаются внешним образом. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры этих трёх окружностей.

Решение:

Пусть центры окружностей — точки A, B, C, а их радиусы \( r_A = 2 \), \( r_B = 3 \), \( r_C = 10 \).

Когда окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов.

Стороны треугольника ABC будут:

• \( c = AB = r_A + r_B = 2 + 3 = 5 \)
• \( a = BC = r_B + r_C = 3 + 10 = 13 \)
• \( b = AC = r_A + r_C = 2 + 10 = 12 \)

Мы имеем треугольник со сторонами 5, 12, 13. Заметим, что \( 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 \) и \( 13^2 = 169 \). Таким образом, \( c^2 + b^2 = a^2 \). Это означает, что треугольник ABC — прямоугольный, с прямым углом при вершине A.

Радиус вписанной окружности \( r \) в любом треугольнике можно найти по формуле:

\[ r = \frac{S}{p} \]

где \( S \) — площадь треугольника, а \( p \) — полупериметр.

1. Найдем полупериметр \( p \):

\[ p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{13 + 12 + 5}{2} = \frac{30}{2} = 15 \]

2. Найдем площадь \( S \) треугольника. Так как треугольник прямоугольный, его площадь равна половине произведения катетов:

\[ S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot c = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = \frac{60}{2} = 30 \]

3. Найдем радиус вписанной окружности \( r \):

\[ r = \frac{S}{p} = \frac{30}{15} = 2 \]

Ответ: 2