7. Улитка ползёт по вертикальному столбу высотой 30 метров. За первый час она проползла 1,2 метра, а за каждый следующий час проползала на 0,4 метра больше, чем за предыдущий. За сколько часов улитка доползёт до вершины столба?

За каждый час улитка преодолевает расстояние, образующее арифметическую прогрессию: \(a_1=1.2\), \(d=0.4\). Сумма расстояний за \(n\) часов равна 30 м:

\[S_n=\frac{n}{2}\bigl(2\cdot1.2+(n-1)\cdot0.4\bigr)=30.\]

Упростим: \(0.2n(n+5)=30\), поэтому \(n(n+5)=150\), откуда \(n=10\) (отрицательное значение не подходит).

Проверка: \(S_{10}=\frac{10}{2}(2.4+9\cdot0.4)=5\cdot6=30\) м.

Ответ: 10 часов.