7. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и ВС, угол OCD равен 30°. Найдите величину угла ОАВ.

Решение:

Так как OC = OD (радиусы окружности), то треугольник OCD равнобедренный. Следовательно, \( \angle ODC = \angle OCD = 30^{\circ} \).

Угол AOD — развёрнутый (180°), так как AD — диаметр. Угол BOC также развёрнутый, так как BC — диаметр.

\( \angle AOC = \angle BOD \) как вертикальные.

\( \angle AOB = 180^{\circ} - \angle BOC = 180^{\circ} \). Это неверно. AD и BC — диаметры, поэтому пересекаются в центре O.

Рассмотрим треугольник OBC. OB = OC (радиусы), значит, он равнобедренный. \( \angle OBC = \angle OCB \).

\( \angle BOC = 180^{\circ} - \angle OCD - \angle OBD \).

Так как BC — диаметр, \( \angle BAC = 90^{\circ} \) (угол, опирающийся на диаметр).

Рассмотрим треугольник OBC. OB = OC (радиусы), значит, \( \triangle OBC \) — равнобедренный. \( \angle OBC = \angle OCB \).

\( \angle COD = 180^{\circ} - \angle OCD - \angle ODC = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ} \).

\( \angle AOB = \angle COD = 120^{\circ} \) как вертикальные углы.

В равнобедренном треугольнике AOB (OA = OB — радиусы), \( \angle OAB = \angle OBA = \frac{180^{\circ} - \angle AOB}{2} = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).

Ответ: 30°.