7. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD основание — квадрат. Ребро основания равно 4 см, боковое ребро равно 8 см. Найдите: а) высоту пирамиды; б) площадь боковой поверхности.

а) Высота пирамиды. Высота опускается в центр O квадрата. Расстояние от центра квадрата до вершины основания равно половине диагонали: диагональ квадрата равна 4√2 см, поэтому OA = 2√2 см.

Из прямоугольного треугольника SOA: h² + (2√2)² = 8², откуда h² = 56 и h = 2√14 см.

б) Площадь боковой поверхности. Высота каждой боковой грани к стороне основания равна высоте равнобедренного треугольника со сторонами 8, 8 и основанием 4:

l² + 2² = 8², поэтому l = 2√15 см.

Площадь одной боковой грани равна (1/2) · 4 · 2√15 = 4√15 см². Таких граней четыре, значит, площадь боковой поверхности равна 16√15 см².

Ответ: а) 2√14 см; б) 16√15 см².