8. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки M и N — середины рёбер A₁B₁ и B₁C₁ соответственно. Постройте сечение куба плоскостью MND. Укажите вид сечения и его площадь, если ребро куба равно 6 см.

Зададим координаты вершин куба: A(0; 0; 0), B(6; 0; 0), C(6; 6; 0), D(0; 6; 0), а верхние вершины имеют координату z = 6. Тогда M(3; 0; 6), N(6; 3; 6).

Плоскость через M, N и D имеет уравнение −2x + 2y + 3z = 12. Она пересекает рёбра AA₁ и CC₁ в точках P(0; 0; 4) и Q(6; 6; 4). Поэтому сечение — шестиугольник D–P–M–N–Q–D.

Площадь этого шестиугольника, вычисленная по координатам его вершин, равна √6633 / 2 = 3√737 / 2 см².

Ответ: сечение — шестиугольник DPMNQ; его площадь равна 3√737 / 2 см².