7. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 3 раза.

Решение:

Это задача на биномиальное распределение. Для \( n \) независимых испытаний с вероятностью успеха \( p \) в каждом, вероятность получить ровно \( k \) успехов равна:

\[ P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

Где \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — число сочетаний.

В данном случае:

• Количество бросков (испытаний), \( n = 4 \).
• Вероятность выпадения орла (успех), \( p = 0.5 \).
• Желаемое количество орлов (успехов), \( k = 3 \).

Сначала найдем число сочетаний \( C_4^3 \):

\[ C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times 1} = 4 \]

Теперь подставим значения в формулу биномиального распределения:

\[ P(X=3) = C_4^3 \cdot (0.5)^3 \cdot (1-0.5)^{4-3} = 4 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^1 = 4 \cdot (0.5)^4 = 4 \cdot \frac{1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \]

Альтернативный способ:

Общее число исходов при 4 бросках равно \( 2^4 = 16 \). Исходы, где орел выпадает ровно 3 раза:

ОООР, ООРO, ОРОО, РООО

Всего 4 благоприятных исхода.

Вероятность равна \( \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество исходов}} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \).