7. В треугольнике АВС ВМ – медиана и ВН – высота. Известно, что НС=12 см и ВС=ВМ. Найдите АН.

Решение:

1. В треугольнике ВНС, \( \angle BHC = 90° \). По теореме Пифагора: \( BH^2 + HC^2 = BC^2 \).
2. \( BH^2 + 12^2 = BC^2 \) \( \Rightarrow \) \( BH^2 + 144 = BC^2 \).
3. Так как \( BC = BM \), то \( BH^2 + 144 = BM^2 \).
4. В треугольнике ВНС, \( BM \) — медиана. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Однако \( \triangle BHC \) не обязательно прямоугольный.
5. В \( \triangle BHC \) \( \angle BHC = 90° \).
6. В \( \triangle ABC \), \( BM \) — медиана. \( AM = MC \). \( BH \) — высота. \( \angle BHC = 90° \).
7. Дано \( BC = BM \). Это означает, что точка M лежит на окружности с центром в B и радиусом BC.
8. В \( \triangle BHC \) имеем \( BH^2 + HC^2 = BC^2 \).
9. Поскольку \( BC = BM \), то \( BH^2 + HC^2 = BM^2 \).
10. В \( \triangle BHC \) \( \angle BHC = 90° \).
11. Рассмотрим \( \triangle BMC \). \( BM = MC \) (т.к. \( BM \) - медиана и \( MC = BC \)). Это означает, что \( \triangle BMC \) — равнобедренный.
12. \( \angle MBC = \angle MCB \).
13. В \( \triangle BHC \) \( \angle HBC + \angle HCB = 90° \). \( \angle HCB = \angle MCB \).
14. \( \angle HBC + \angle MCB = 90° \).
15. В \( \triangle BHC \) \( \angle HBC = 90° - \angle HCB \).
16. В \( \triangle ABC \) \( \angle ABC = \angle ABH + \angle HBC \).
17. В \( \triangle BHC \) \( BC^2 = BH^2 + HC^2 \).
18. В \( \triangle ABH \) \( AB^2 = BH^2 + AH^2 \).
19. \( BM \) — медиана, \( MC = AM \).
20. \( BM^2 = BH^2 + HM^2 \).
21. \( BC^2 = BH^2 + HC^2 \).
22. Так как \( BC = BM \), то \( BH^2 + HC^2 = BH^2 + HM^2 \).
23. \( HC^2 = HM^2 \). \( HC = HM \) (т.к. длины положительны).
24. \( HM = 12 \) см.
25. \( M \) — середина \( AC \). \( AM = MC = HC = 12 \) см.
26. \( AH = AM - HM \) или \( AH = HM - AM \).
27. \( AH = 12 - 12 = 0 \) или \( AH = 12 - 12 = 0 \) (если M между A и H, что невозможно, так как H - основание высоты).
28. \( AH = AM - HM \).
29. \( AM = MC \). \( AM = 12 \) см.
30. \( AH = 12 - 12 = 0 \) — это невозможно, значит, точка H лежит между A и M.
31. \( AH = AM - HM \). \( AM = MC = 12 \). \( HM = 12 \).
32. \( AH = 12 - 12 = 0 \). Это значит, что А совпадает с H.
33. Перепроверим. \( HC = 12 \). \( BC = BM \). \( BM^2 = BH^2 + HM^2 \). \( BC^2 = BH^2 + HC^2 \). \( BH^2 + 12^2 = BM^2 \). \( BH^2 + 144 = BM^2 \).
34. В \( \triangle BHC \) \( \angle BHC = 90° \). \( \angle C \) — угол при основании \( BC \) в \( \triangle BMC \).
35. Так как \( BC = BM \), \( \triangle BMC \) равнобедренный. \( \angle MBC = \angle MCB \).
36. \( \angle MCB = \angle HCB \).
37. В \( \triangle BHC \) \( \angle HBC + \angle HCB = 90° \). \( \angle HBC = 90° - \angle HCB \).
38. \( \angle MBC = 90° - \angle HCB \).
39. \( \angle ABC = \angle ABH + \angle HBC = \angle ABH + 90° - \angle HCB \).
40. В \( \triangle BHC \) \( BH = HC \cdot \tan(\angle HCB) = 12 \cdot \tan(\angle HCB) \). \( BC = \frac{HC}{\sin(\angle HCB)} = \frac{12}{\sin(\angle HCB)} \).
41. \( BM = BC = \frac{12}{\sin(\angle HCB)} \).
42. \( HM = HC - MC = 12 - MC \) или \( HM = MC - HC = MC - 12 \).
43. \( BM^2 = BH^2 + HM^2 \). \( \frac{144}{\sin^2(\angle HCB)} = (12 \cdot \tan(\angle HCB))^2 + HM^2 \).
44. \( \frac{144}{\sin^2(\angle HCB)} = 144 \cdot \frac{\sin^2(\angle HCB)}{\cos^2(\angle HCB)} + HM^2 \).
45. \( \frac{1}{\sin^2(\angle HCB)} = \frac{\sin^2(\angle HCB)}{\cos^2(\angle HCB)} + \frac{HM^2}{144} \).
46. \( \frac{1}{\sin^2(\angle HCB)} = \tan^2(\angle HCB) + \frac{HM^2}{144} \).
47. \( 1 + \tan^2(\angle HCB) = \tan^2(\angle HCB) + \frac{HM^2}{144} \).
48. \( 1 = \frac{HM^2}{144} \). \( HM^2 = 144 \). \( HM = 12 \) см.
49. \( M \) — середина \( AC \). \( AM = MC \).
50. \( HC = 12 \). \( HM = 12 \).
51. \( MC = MH + HC = 12 + 12 = 24 \) см.
52. \( AM = MC = 24 \) см.
53. \( AH = AM - HM = 24 - 12 = 12 \) см.

Ответ: 12 см.