7. В треугольнике один из углов равен 30°, а второй 60°. Сторона, лежащая напротив второго угла, равна 15 см. Найти другие стороны треугольника.

Решение:

Пусть дан треугольник ABC. Углы \( \angle A = 30° \), \( \angle B = 60° \). Тогда третий угол \( \angle C = 180° - 30° - 60° = 90° \). Треугольник является прямоугольным.

Сторона, лежащая напротив угла \( \angle B = 60° \), равна \( b = 15 \) см.

Используем теорему синусов:

\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \)

Подставим известные значения:

\( \frac{a}{\sin 30°} = \frac{15}{\sin 60°} = \frac{c}{\sin 90°} \)

Найдем сторону \( a \):

\( \frac{a}{\sin 30°} = \frac{15}{\sin 60°} \)

\( a = \frac{15 \cdot \sin 30°}{\sin 60°} \)

\( \sin 30° = \frac{1}{2} \), \( \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \).

\( a = \frac{15 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{15 \cdot 1}{\sqrt{3}} = \frac{15}{\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3} \) см.

Найдем сторону \( c \) (гипотенузу):

\( \frac{c}{\sin 90°} = \frac{15}{\sin 60°} \)

\( c = \frac{15 \cdot \sin 90°}{\sin 60°} \)

\( \sin 90° = 1 \).

\( c = \frac{15 \cdot 1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{15 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3} \) см.

Ответ: Сторона, лежащая напротив угла 30°, равна \( 5\sqrt{3} \) см. Гипотенуза равна \( 10\sqrt{3} \) см.