7. Вероятность того, что за год в гирлянде перегорит больше одной лампочки, равна 0,97. Вероятность того, что перегорит больше четырёх лампочек, равна 0,86. Найдите вероятность того, что за год перегорит больше одной, но не больше четырёх лампочек.

Задание 7. Вероятность перегорания от 2 до 4 лампочек

Дано:

• Вероятность того, что перегорит более 1 лампочки (более 1): \( P(>1) = 0,97 \).
• Вероятность того, что перегорит более 4 лампочек (более 4): \( P(>4) = 0,86 \).

Найти: Вероятность того, что перегорит больше одной, но не больше четырёх лампочек (т.е. 2, 3 или 4 лампочки).

Решение:

Пусть событие A — «перегорит более 1 лампочки». Это означает, что перегорит 2, 3, 4, 5, ... лампочек.

Пусть событие B — «перегорит более 4 лампочек». Это означает, что перегорит 5, 6, 7, ... лампочек.

Нам нужно найти вероятность события C — «перегорит больше одной, но не больше четырёх лампочек». Это означает, что перегорит 2, 3 или 4 лампочки.

Событие A можно представить как объединение несовместных событий:

• A = {перегорит 2 лампочки} $$\cup$$ {перегорит 3 лампочки} $$\cup$$ {перегорит 4 лампочки} $$\cup$$ {перегорит 5 лампочек} $$\cup$$ ...

Событие B можно представить как:

• B = {перегорит 5 лампочек} $$\cup$$ {перегорит 6 лампочек} $$\cup$$ ...

Событие C — это:

• C = {перегорит 2 лампочки} $$\cup$$ {перегорит 3 лампочки} $$\cup$$ {перегорит 4 лампочки}

Заметим, что событие A включает в себя все случаи, которые описываются событием C, а также случаи, которые описываются событием B:

• \( P(A) = P(C) + P(B) \)

где \( P(C) \) — это вероятность того, что перегорит 2, 3 или 4 лампочки, а \( P(B) \) — вероятность того, что перегорит 5 или более лампочек.

Мы хотим найти \( P(C) \).

• \( P(C) = P(A) - P(B) \)
• \( P(C) = 0,97 - 0,86 \)
• \( P(C) = 0,11 \)

Ответ: 0,11.