70 Игральную кость бросают дважды. Событие U — «в первый раз выпадет число, кратное трём». Событие V — «во второй раз выпадет число, кратное трём».

Решение:

При броске игральной кости 2 раза всего исходов \( 6 \times 6 = 36 \).

Числа, кратные трём на игральной кости: {3, 6}.

Событие U: «в первый раз выпадет число, кратное трём». Благоприятные исходы для первого броска: {3, 6}.

Событие V: «во второй раз выпадет число, кратное трём». Благоприятные исходы для второго броска: {3, 6}.

а) В таблице элементарных событий этого опыта выделите элементарные события, благоприятствующие одновременно событию U и событию V.

U ∩ V — событие, при котором в первый раз выпадет число, кратное трём, И во второй раз выпадет число, кратное трём.

Благоприятные исходы для U: {(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} (12 исходов).

Благоприятные исходы для V: {(1,3), (2,3), (3,3), (4,3), (5,3), (6,3), (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,6)} (12 исходов).

Общие благоприятствующие элементарные события (U ∩ V):

• Число, кратное трём на первом броске: {3, 6}
• Число, кратное трём на втором броске: {3, 6}

Пересечение исходов: {(3,3), (3,6), (6,3), (6,6)}. Количество исходов = 4.

Таблица элементарных событий (фрагмент, показывающий благоприятствующие исходы U ∩ V):

б) Опишите словами событие U U V.

U U V — событие, при котором в первый раз выпадет число, кратное трём, ИЛИ во второй раз выпадет число, кратное трём (или оба раза).

в) Найдите вероятность события U U V.

Общее число исходов = 36.

Число благоприятных исходов для U = 12.

Число благоприятных исходов для V = 12.

Число благоприятных исходов для U ∩ V = 4.

Используем формулу: \( P(U \cup V) = P(U) + P(V) - P(U \cap V) \)

\( P(U) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3} \)

\( P(V) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3} \)

\( P(U \cap V) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \)

\( P(U \cup V) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{9} = \frac{3}{9} + \frac{3}{9} - \frac{1}{9} = \frac{5}{9} \)

Альтернативный подсчет благоприятных исходов для U U V:

Исходы, где первый бросок кратен 3: {(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} — 12 исходов.

Исходы, где второй бросок кратен 3 (но первый не кратен 3, чтобы не повторяться): {(1,3), (2,3), (4,3), (5,3), (1,6), (2,6), (4,6), (5,6)} — 8 исходов.

Всего благоприятных исходов: 12 + 8 = 20.

P(U U V) = \( \frac{20}{36} = \frac{5}{9} \).

Ответ: а) Благоприятствующие события: {(3,3), (3,6), (6,3), (6,6)}. б) В первый или во второй раз (или оба раза) выпало число, кратное трём. в) P(U U V) = \( \frac{5}{9} \).