704 Найдите площадь равнобедренного треугольника с углом α при основании, если: а) боковая сторона равна b; б) основание равно a.

Задание 704: Площадь равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть \( \alpha \) — угол при основании, \( b \) — длина боковой стороны, \( a \) — длина основания.

а) Боковая сторона равна b

Проведем высоту \( h \) из вершины, противолежащей основанию. Эта высота разделит основание \( a \) пополам и будет биссектрисой и медианой. Угол при вершине будет \( 180^\circ - 2\alpha \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной основания, боковой стороной и высотой. Углы в нем будут \( \alpha \), \( 90^\circ \) и \( 90^\circ - \alpha \).

• Выразим половину основания:



\[ \cos \alpha = \frac{a/2}{b} \implies \frac{a}{2} = b \cdot \cos \alpha \implies a = 2b \cos \alpha \]



• Выразим высоту h:



\[ \sin \alpha = \frac{h}{b} \implies h = b \cdot \sin \alpha \]



• Площадь (S):



\[ S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \]




\[ S = \frac{1}{2} \cdot (2b \cos \alpha) \cdot (b \sin \alpha) = b^2 \sin \alpha \cos \alpha \]




Используя формулу двойного угла \( \sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha \), получим:




\[ S = \frac{1}{2} b^2 \sin(2\alpha) \]

б) Основание равно a

В этом случае нам нужно выразить боковую сторону \( b \) через \( a \) и \( \alpha \).

• Выразим половину основания (из пункта а):



\[ \frac{a}{2} = b \cdot \cos \alpha \implies b = \frac{a}{2 \cos \alpha} \]



• Выразим высоту h:



\[ h = b \cdot \sin \alpha = \frac{a}{2 \cos \alpha} \cdot \sin \alpha = \frac{a \sin \alpha}{2 \cos \alpha} = \frac{a \text{tg} \alpha}{2} \]



• Площадь (S):



\[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a \text{tg} \alpha}{2} = \frac{a^2 \text{tg} \alpha}{4} \]

Ответ: а) \( S = b^2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} b^2 \sin(2\alpha) \); б) \( S = \frac{a^2 \text{tg} \alpha}{4} \).