703 Катеты прямоугольного треугольника равны a и b. Выразите через a и b гипотенузу и тангенсы острых углов треугольника и найдите их значения при a = 12, b = 15.

Задание 703: Прямоугольный треугольник

Дано: Прямоугольный треугольник с катетами \( a \) и \( b \).

а) Выражение через a и b

Пусть \( c \) — гипотенуза. Обозначим углы, противолежащие катетам \( a \) и \( b \) как \( \alpha \) и \( \beta \) соответственно.

• Гипотенуза (c): Используем теорему Пифагора:



\[ c^2 = a^2 + b^2 \implies c = \sqrt{a^2 + b^2} \]



• Тангенсы острых углов:



\[ \text{tg} \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{a}{b} \]




\[ \text{tg} \beta = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{b}{a} \]

б) Найдите их значения при a = 12, b = 15

• Гипотенуза (c):



\[ c = \sqrt{12^2 + 15^2} = \sqrt{144 + 225} = \sqrt{369} \]




\[ c = \sqrt{9 \cdot 41} = 3\sqrt{41} \] см.



• Тангенс угла α (противолежащего катету a):



\[ \text{tg} \alpha = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0.8 \]



• Тангенс угла β (противолежащего катету b):



\[ \text{tg} \beta = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1.25 \]

Ответ: \( c = 3\sqrt{41} \) см, \( \text{tg} \alpha = 0.8 \), \( \text{tg} \beta = 1.25 \).