757. Может ли вектор составлять с двумя координатными осями следующие углы: 1) α = 30°, β = 45°; 2) β = 60°, γ = 60°; 3) α = 150°, γ = 30°?

Используем условие \(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1\).

1. \(\cos^2 30^\circ+\cos^2 45^\circ=\frac34+\frac12=\frac54>1\). Такой вектор не существует.
2. \(\cos^2 60^\circ+\cos^2 60^\circ=\frac14+\frac14=\frac12\). Тогда \(\cos^2\alpha=1-\frac12=\frac12\), поэтому \(\alpha=45^\circ\) или \(135^\circ\). Такой вектор существует.
3. \(\cos^2 150^\circ+\cos^2 30^\circ=\frac34+\frac34=\frac32>1\). Такой вектор не существует.

Ответ: 1) нет; 2) да, при \(\alpha=45^\circ\) или \(135^\circ\); 3) нет.