786 Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

Дано: Описанный многоугольник, вписанная окружность с центром O и радиусом r.

Доказать: \( S = \frac{1}{2} P \cdot r \), где S — площадь многоугольника, P — его периметр.

Доказательство:

Пусть многоугольник имеет вершины \( A_1, A_2, ..., A_n \) и стороны \( a_1, a_2, ..., a_n \) соответственно.

Соединим центр вписанной окружности O с каждой вершиной многоугольника. Это разобьёт многоугольник на n треугольников: \( OA_1A_2, OA_2A_3, ..., OA_nA_1 \).

Площадь каждого такого треугольника можно вычислить как половину произведения основания (стороны многоугольника) на высоту, которая равна радиусу вписанной окружности (так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной — стороне многоугольника).

Например, площадь треугольника \( OA_1A_2 = \frac{1}{2} a_1 · r \).

Аналогично для всех других треугольников:

\( OA_2A_3 = \frac{1}{2} a_2 · r \)

...

\( OA_nA_1 = \frac{1}{2} a_n · r \)

Общая площадь многоугольника S является суммой площадей этих треугольников:

\( S = \frac{1}{2} a_1 · r + \frac{1}{2} a_2 · r + ... + \frac{1}{2} a_n · r \)

Вынесем общий множитель \( \frac{1}{2} r \) за скобки:

\( S = \frac{1}{2} r (a_1 + a_2 + ... + a_n) \)

Сумма длин всех сторон многоугольника \( a_1 + a_2 + ... + a_n \) является его периметром P.

\( S = \frac{1}{2} r · P \)

Или, что то же самое:

\( S = \frac{1}{2} P · r \)

Вывод: Формула доказана.