785 Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.

Доказательство:

1. Пусть дан параллелограмм ABCD.
2. Из условия следует, что в параллелограмм ABCD можно вписать окружность.
3. Свойство описанного четырёхугольника гласит, что сумма противоположных сторон равна: AB + CD = BC + AD.
4. По свойству параллелограмма, противоположные стороны равны: AB = CD и BC = AD.
5. Подставим это в уравнение из пункта 3: AB + AB = BC + BC, что дает 2 ⋅ AB = 2 ⋅ BC.
6. Следовательно, AB = BC.
7. Так как у параллелограмма противоположные стороны равны (AB = CD, BC = AD) и соседние стороны равны (AB = BC), то все стороны параллелограмма равны: AB = BC = CD = AD.
8. Четырёхугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.

Вывод: Если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм является ромбом.