785 Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.

Дано: Параллелограмм ABCD, в который можно вписать окружность.

Доказать: ABCD — ромб.

Доказательство:

Свойство описанного четырёхугольника гласит, что сумма противоположных сторон равна. Для параллелограмма ABCD, в который можно вписать окружность, верно:

\( AB + CD = BC + AD \)

Так как ABCD — параллелограмм, то противоположные стороны равны:

\( AB = CD \) и \( BC = AD \)

Подставим это в первое равенство:

\( AB + AB = BC + BC \)

\( 2AB = 2BC \)

\( AB = BC \)

Следовательно, все стороны параллелограмма равны: \( AB = BC = CD = AD \).

Вывод: Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом. Что и требовалось доказать.