788. В арифметической прогрессии третий член равен 150, а тринадцатый член равен 110. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, сложили, если их сумма оказалась равной нулю?

Решение:

Дано: арифметическая прогрессия.

\( a_3 = 150 \), \( a_{13} = 110 \), \( S_n = 0 \).

Найти: \( n \).

1. Найдем первый член \( a_1 \) и разность \( d \).
2. \( a_{13} = a_1 + (13-1)d = a_1 + 12d = 110 \)
3. \( a_3 = a_1 + (3-1)d = a_1 + 2d = 150 \)
4. Вычтем второе уравнение из первого: \( (a_1 + 12d) - (a_1 + 2d) = 110 - 150 \)
5. \( 10d = -40 \) \( → d = -4 \).
6. Подставим \( d = -4 \) в третье уравнение: \( a_1 + 2(-4) = 150 \)
7. \( a_1 - 8 = 150 \) \( → a_1 = 158 \).
8. Найдем \( n \) по формуле суммы арифметической прогрессии: \( S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \).
9. \( 0 = \frac{2 \cdot 158 + (n-1)(-4)}{2} \)
10. \( 0 = 316 - 4(n-1) \)
11. \( 4(n-1) = 316 \)
12. \( n-1 = \frac{316}{4} \)
13. \( n-1 = 79 \) \( → n = 80 \).

Ответ: 80.