794. Последовательность (bn) — геометрическая прогрессия. Найдите первые три члена этой прогрессии, если известно, что b₁ + b₂ = 30, а b₂ + b₃ = 20.

Решение:

Дано: геометрическая прогрессия \( (b_n) \).

\( b_1 + b_2 = 30 \)

\( b_2 + b_3 = 20 \)

Найти: \( b_1, b_2, b_3 \).

1. Запишем условия через \( b_1 \) и \( q \):
2. \( b_1 + b_1q = 30 → b_1(1+q) = 30 \)
3. \( b_1q + b_1q^2 = 20 → b_1q(1+q) = 20 \)
4. Разделим второе уравнение на первое:
5. \( \frac{b_1q(1+q)}{b_1(1+q)} = \frac{20}{30} \)
6. \( q = \frac{2}{3} \).
7. Подставим \( q = \frac{2}{3} \) в первое уравнение:
8. \( b_1(1+\frac{2}{3}) = 30 \)
9. \( b_1(\frac{3+2}{3}) = 30 \)
10. \( b_1 · \frac{5}{3} = 30 \)
11. \( b_1 = 30 · \frac{3}{5} = 6 · 3 = 18 \).
12. Найдем \( b_2 \) и \( b_3 \):
13. \( b_2 = b_1q = 18 · \frac{2}{3} = 6 · 2 = 12 \).
14. \( b_3 = b_2q = 12 · \frac{2}{3} = 4 · 2 = 8 \).

Проверка: \( b_1+b_2 = 18+12=30 \), \( b_2+b_3 = 12+8=20 \).

Ответ: 18, 12, 8.