792. Докажите теорему о средней линии треугольника (п. 64).

Пусть M и N — середины сторон AB и AC треугольника ABC. Проведём через M прямую, параллельную BC; пусть она пересекает AC в точке N′.

Так как MN′ ∥ BC, по теореме Фалеса отрезки AN′ и N′C равны. Следовательно, N′ — середина AC, то есть N′ совпадает с N. Поэтому MN ∥ BC.

Треугольники AMN и ABC подобны: у них общий угол A, а MN ∥ BC. Поскольку AM = AB/2, коэффициент подобия равен 1/2, поэтому MN = BC/2.

Итак, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен её половине.