8.1. На прямой расположены города Новосибирск, Бердск и Искитим именно в таком порядке, причём от Новосибирска до Бердска 6 км, а от Бердска до Искитима — 7 км. Из Бердска одновременно в противоположных направлениях с одинаковыми постоянными скоростями выехали велосипедисты Егор и Никита. Каждый раз, когда кто-то из них доезжает до Новосибирска или Искитима, он поворачивает назад. Так же они разворачиваются, если встречаются друг с другом. На каком расстоянии от Новосибирска произойдёт их встреча номер 2027 после выезда?

Пусть скорость каждого велосипедиста равна v, а расстояние между Новосибирском и Искитимом — 13 км.

1. Для расчёта «развернём» путь в прямую: при каждом развороте движение можно продолжить по копии отрезка длиной 13 км.
2. В этой развёрнутой модели велосипедисты движутся навстречу друг другу со скоростью сближения 2v. Встречи происходят через одинаковые промежутки времени: за промежуток между встречами каждый проходит 13 км.
3. В нечётную встречу координата на развёрнутой прямой, отсчитанная от Новосибирска, равна 6 + 13 = 19 км. После отражения относительно конца отрезка это соответствует расстоянию 26 − 19 = 7 км от Новосибирска.
4. Номер 2027 нечётный, поэтому место этой встречи такое же.

Ответ: в 7 км от Новосибирска.