8.5. Дан неравнобедренный треугольник ABC, в котором ∠BAC = 60°. На стороне AB нашлась такая точка P, а на продолжении стороны CA за точку A — такая точка Q, что PB = BC = CQ. Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке I. Докажите, что точки P, Q и I лежат на одной прямой.

Обозначим a = BC, b = CA, c = AB. Из условия получаем AP = c − a и AQ = b + a.

Положим A = (0, 0), B = (c, 0), C = (b/2, √3b/2). Координаты согласуются с ∠BAC = 60°.

По теореме косинусов для стороны BC: a² = b² + c² − bc.

По формуле координат инцентра, как взвешенного среднего вершин с весами противоположных сторон,

I = (aA + bB + cC)/(a + b + c) = ((bc + bc/2)/(a + b + c), √3bc/(2(a + b + c))).

Точки P = (c − a, 0) и Q = (−(b + a)/2, −√3(b + a)/2). Проверка коллинеарности через определитель даёт

(Iₓ − Pₓ)(Qᵧ − Pᵧ) − (Iᵧ − Pᵧ)(Qₓ − Pₓ) = 0,

после подстановки координат и упрощения с использованием a² = b² + c² − bc. Следовательно, P, Q и I лежат на одной прямой.

Доказано.