8.4. В каждую клетку доски 101 × 101 записано одно из чисел 0, 1, 2, 3 или 4. Оказалось, что если в некоторой клетке записано число n, то ровно в n соседних с ней клетках также записано число n. Например, каждая клетка, в которой записано число 2, соседствует ровно с двумя клетками, в которых также записано число 2. Докажите, что количество клеток, в которых записан 0, нечётно. Соседними считаются клетки, имеющие общую сторону.

Разобьём клетки на два цвета в шахматном порядке. Каждая соседняя пара состоит из клеток разных цветов.

1. Рассмотрим клетки с числом 1 или 3. Для каждого из этих чисел степень клетки в графе соседства равна соответственно 1 или 3. Подсчёт рёбер между клетками с одинаковым числом даёт: число таких клеток каждого нечётного значения чётно, поскольку сумма степеней равна удвоенному числу рёбер.
2. Для клеток с числом 2 каждая клетка имеет ровно двух соседей с числом 2. В двудольном графе число рёбер, посчитанное со стороны клеток одного цвета, равно числу рёбер со стороны другого цвета. Поскольку у каждой такой клетки степень 2, количество двоек на двух цветах одинаково; общее число двоек чётно.
3. Клеток с числом 4 нет. Такая клетка должна иметь четырёх соседей с числом 4, значит, она не может быть на краю. У её соседей требование также обязывает иметь всех четырёх соседей со значением 4. Повторяя рассуждение, получаем, что все клетки доски должны быть четвёрками, что невозможно для граничных клеток.
4. На доске всего 101² = 10201 клетка, то есть нечётное число. Число клеток с 1, 2, 3 и 4 в сумме чётно. Поэтому число нулей нечётно.

Доказано.