8.2. Упростите выражение \(\frac{2}{a+2}-\frac{a-2}{a^2-4}\cdot\frac{a+2}{a-2}-\frac{4a}{a^2-4}\).

Область допустимых значений: \(a\ne2\), \(a\ne-2\).

Разложим разность квадратов и упростим произведение:

\(\frac{a-2}{a^2-4}\cdot\frac{a+2}{a-2}=\frac{a-2}{(a-2)(a+2)}\cdot\frac{a+2}{a-2}=\frac{1}{a-2}\).

Приведём выражение к общему знаменателю:

\(\frac{2}{a+2}-\frac{1}{a-2}-\frac{4a}{(a-2)(a+2)}=\frac{2(a-2)-(a+2)-4a}{(a-2)(a+2)}=\frac{-3a-6}{(a-2)(a+2)}\).

В выражении на изображении второй множитель читается как \(\frac{a+2}{a-2}\), поэтому его произведение с \(\frac{a-2}{a^2-4}\) равно \(\frac{1}{a-2}\). Итоговое сокращение даёт \(-\frac{3(a+2)}{(a-2)(a+2)}=-\frac{3}{a-2}\).

Ответ: \(-\frac{3}{a-2}\), где \(a\ne\pm2\).