8.2 В числителе и знаменателе дроби — двузначные числа без нулевых цифр. Известно, что дробь сохранит своё значение, если пары цифр в числителе и в знаменателе поменять местами (например, \(\frac{36}{48}=\frac{63}{84}\)). Докажите, что произведение этих четырёх цифр является квадратом некоторого натурального числа.

Обозначим цифры исходной дроби через \(a,b,c,d\): она имеет вид \(\frac{10a+b}{10c+d}\). После перестановки цифр получается \(\frac{10b+a}{10d+c}\). По условию дроби равны, поэтому

\[(10a+b)(10d+c)=(10b+a)(10c+d).\]

Раскрывая скобки и сокращая одинаковые слагаемые, получаем

\[100ad+10ac+10bd+bc=100bc+10ac+10bd+ad,\]

\[99ad=99bc,\qquad ad=bc.\]

Следовательно, произведение четырёх цифр равно \(abcd=(ad)(bc)=(ad)^2\), то есть является квадратом натурального числа.