8.5 Дан прямоугольный треугольник $ABC$ (угол $ACB$ — прямой, $AC<BC$). Окружность с центром в точке $C$ пересекает гипотенузу $AB$ в точках $M$ и $K$, где $M$ — середина гипотенузы. Биссектриса угла $CKA$ пересекает катет $AC$ в точке $N$. Найдите $AN$, если $KN=11$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 8.5 Дан прямоугольный треугольник $ABC$ (угол $ACB$ — прямой, \(AC$ Фото задания

8.5 Дан прямоугольный треугольник $ABC$ (угол $ACB$ — прямой, $AC<BC$). Окружность с центром в точке $C$ пересекает гипотенузу $AB$ в точках $M$ и $K$, где $M$ — середина гипотенузы. Биссектриса угла $CKA$ пересекает катет $AC$ в точке $N$. Найдите $AN$, если $KN=11$.

Accepted Answer

Обозначим $AC=a$, $BC=b$, $AB=c$, так что $c^2=a^2+b^2$. Возьмём координаты $C=(0,0)$, $A=(a,0)$, $B=(0,b)$. Пусть $t=AK/AB$. Тогда $K=(a(1-t),bt)$.

Радиус окружности равен $CM=c/2$, поскольку $M$ — середина гипотенузы прямоугольного треугольника. Подставляя координаты $K$ в условие $CK=c/2$, получаем для параметра пересечения уравнение с корнями $t=1/2$ и $t=\frac{3a^2-b^2}{2c^2}$. Первый корень соответствует точке $M$, поэтому для $K$ берём второй.

По теореме о биссектрисе в треугольнике $CKA$: $\frac{CN}{AN}=\frac{CK}{KA}=\frac{c/2}{tc}=\frac{1}{2t}$. Так как $CN+AN=a$, отсюда

\[AN=\frac{2at}{1+2t}=\frac{3a^2-b^2}{4a}.\]

Из координат точек $K$ и $N=(a-AN,0)$ следует $KN^2=(AN-at)^2+b^2t^2$. Подставляя найденные значения $t$ и $AN$, получаем $KN^2=\left(\frac{3a^2-b^2}{4a}\right)^2=AN^2$. Значит, $KN=AN$, так как длины положительны.

Поскольку $KN=11$, получаем $AN=11$.

Ответ: 11.