8.4 На 8 карточках написаны различные натуральные числа (по одному числу на карточке). При этом на одной из карточек написано число 14. Для каждой пары карточек на доску записали число, равное частному от деления большего из чисел на меньшее (частное может быть нецелым). Оказалось, что число 2 было выписано на доску ровно 7 раз. Найдите наименьшую возможную сумму чисел, записанных на этих 8 карточках.

Частное для пары различных чисел равно 2 ровно тогда, когда числа имеют вид \(x\) и \(2x\). Рассмотрим карточки как вершины, соединяя пару, если одно число вдвое больше другого. В такой системе нет циклов, а у каждой вершины не более двух соседей: её половина и её удвоенное число. Поэтому среди 8 чисел может быть не более 7 таких пар.

Раз число 2 выписали ровно 7 раз, все 7 возможных пар должны быть такими. Значит, числа образуют одну цепочку последовательных удвоений: \(m,2m,4m,\ldots,128m\). Поскольку среди них есть 14, начальным числом может быть 14 или 7. Для меньшей суммы выбираем 7: набор чисел равен \(7,14,28,56,112,224,448,896\).

Их сумма равна \(7(1+2+4+8+16+32+64+128)=7\cdot255=1785\). Этот набор содержит ровно 7 пар с отношением 2, поэтому минимум достигается.

Ответ: 1785.