8.(3 балла) В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) проведена высота CD. Гипотенуза АВ равна 8 см. ∠CBA = 30°. Найдите BD.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC:

1. Найдем длину катета AC, противолежащего углу B:
   AC = AB ⋅ sin(∠CBA)
   AC = 8 ⋅ sin(30°)
   AC = 8 ⋅ 0.5
   AC = 4 см
2. Найдем длину катета BC:
   BC = AB ⋅ cos(∠CBA)
   BC = 8 ⋅ cos(30°)
   BC = 8 ⋅ (√3 / 2)
   BC = 4√3 см
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD. Угол B = 30°.
   BD является прилежащим катетом к углу B.
   BD = BC ⋅ cos(∠CBA)
   BD = 4√3 ⋅ cos(30°)
   BD = 4√3 ⋅ (√3 / 2)
   BD = (4 ⋅ 3) / 2
   BD = 12 / 2
   BD = 6 см

Ответ: BD = 6 см