8-3. При каких \(x,y,z\) может иметь место равенство \(x^2+9y^2+4z^2-2x+12y+4z+6=0\)?

Сгруппируем слагаемые и выделим квадраты:

\(x^2-2x=(x-1)^2-1\), \(9y^2+12y=(3y+2)^2-4\), \(4z^2+4z=(2z+1)^2-1\).

После подстановки исходное равенство принимает вид \((x-1)^2+(3y+2)^2+(2z+1)^2+0=0\)? Проверим постоянные: \(-1-4-1+6=0\). Следовательно, сумма квадратов равна нулю, и каждый квадрат должен быть нулём.

Отсюда \(x=1\), \(y=-\frac{2}{3}\), \(z=-\frac{1}{2}\).

Ответ: \(x=1,\ y=-\frac{2}{3},\ z=-\frac{1}{2}\).