8-5. Можно ли разрезать квадрат со стороной 1 дм на пять прямоугольников периметра 2 дм?

Да. Разделим квадрат на две одинаковые горизонтальные полосы размером \(1\times\frac12\). Каждая полоса имеет периметр 3 дм, но её можно разрезать на прямоугольники меньшего периметра.

Например, разрежем верхнюю полосу на два прямоугольника размером \(\frac12\times\frac12\). Их периметр равен 2 дм. Нижнюю полосу разделим на три прямоугольника размером \(\frac13\times\frac12\); периметр каждого равен \(2(\frac13+\frac12)=\frac53\) дм, а не 2 дм. Поэтому такая схема не подходит.

Для любого прямоугольника периметра 2 дм сумма его сторон равна 1 дм. У прямоугольника, вырезанного в квадрате со стороной 1 дм, обе стороны не превосходят 1 дм; однако возможны только размеры \(a\) и \(1-a\). Для строгого ответа требуется подходящая раскладка или доказательство невозможности; приведённое выше разбиение не даёт пяти прямоугольников требуемого периметра.

Ответ: приведённый пример не решает задачу.