8.5 Дан прямоугольный треугольник $ABC$ (угол $ACB$ — прямой, $AC<BC$). Окружность с центром в точке $C$ пересекает гипотенузу $AB$ в точках $M$ и $K$, где $M$ — середина гипотенузы. Биссектриса угла $CKA$ пересекает катет $AC$ в точке $N$. Найдите $AN$, если $KN=11$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 8.5 Дан прямоугольный треугольник $ABC$ (угол $ACB$ — прямой, $AC<BC$). Окружность с центром в точке $C$ пересекает…$ Фото задания

8.5 Дан прямоугольный треугольник $ABC$ (угол $ACB$ — прямой, $AC<BC$). Окружность с центром в точке $C$ пересекает гипотенузу $AB$ в точках $M$ и $K$, где $M$ — середина гипотенузы. Биссектриса угла $CKA$ пересекает катет $AC$ в точке $N$. Найдите $AN$, если $KN=11$.

Accepted Answer

Пусть $AB=c$, $AC=a$, а $AK=d$. Так как в прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна её половине, $CM=c/2$. Точки $M$ и $K$ лежат на окружности с центром $C$, поэтому $CK=CM=c/2$.

В треугольнике $ACK$ угол при $A$ совпадает с углом $CAB$, и $\cos A=a/c$. По теореме косинусов:

\[\left(\frac c2\right)^2=a^2+d^2-\frac{2a^2d}{c}.\]

Корни этого уравнения относительно расстояния от $A$ до точки пересечения окружности с прямой $AB$ — расстояния до $M$ и $K$. Так как $AM=c/2$, получаем $d=2a^2/c-c/2$, а значит, $c/2+d=2a^2/c$.

По теореме о биссектрисе в треугольнике $ACK$:

\[AN=\frac{ad}{c/2+d}=\frac{cd}{2a}.\]

Длина биссектрисы вычисляется по формуле $KN^2=CK\cdot AK\left(1-\frac{AC^2}{(CK+AK)^2}\right)$. Подставляя найденные соотношения, получаем:

\[KN^2=\frac{cd}{2}\left(1-\frac{c^2}{4a^2}\right)=\left(\frac{cd}{2a}\right)^2=AN^2.\]

Длины положительны, следовательно, $KN=AN$. Поэтому $AN=11$.

Ответ: 11.