№ 8. Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если АВ = 7.

Решение:

Пусть \( AM \) — биссектриса \( \angle A \), а \( BM \) — биссектриса \( \angle B \). Точка \( M \) лежит на стороне \( BC \).

По свойству биссектрисы, \( \angle BAM = \angle MAD \) и \( \angle ABM = \angle MBC \).

Так как \( AD \parallel BC \), то \( \angle MAD = \angle AMB \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \( AD \) и \( BC \) и секущей \( AM \).

Следовательно, \( \angle BAM = \angle AMB \). Это означает, что треугольник \( ABM \) — равнобедренный с \( AB = BM \).

Аналогично, так как \( AB — BC \) секущая, \( \angle ABM = \angle BMA \) как накрест лежащие. Отсюда \( BM = MA \). (Примечание: это неверно, так как \( BM \) — биссектриса \( \angle B \) и \( \angle ABM = \angle MBC \)).

Уточним: \( AB — BC \) секущая, \( \angle ABM = \angle BMA \) как накрест лежащие. Следовательно, \( AB = AM \) неверно.

Вернемся к \( \angle BAM = \angle AMB \), значит, \( AB = BM \).

Теперь рассмотрим биссектрису \( BM \). \( \angle ABM + \angle MBC = \angle B \).

Так как \( AD — BC \) параллельны, то \( \angle DAB + \angle ABC = 180^{\circ} \).

Поскольку \( AM \) и \( BM \) — биссектрисы, \( \angle MAB = \frac{1}{2} \angle DAB \) и \( \angle MBA = \frac{1}{2} \angle ABC \).

Сумма этих углов в треугольнике \( ABM \): \( \angle MAB + \angle MBA + \angle AMB = 180^{\circ} \).

\( \frac{1}{2} \angle DAB + \frac{1}{2} \angle ABC + \angle AMB = 180^{\circ} \).

\( \frac{1}{2} (\angle DAB + \angle ABC) + \angle AMB = 180^{\circ} \).

\( \frac{1}{2} (180^{\circ}) + \angle AMB = 180^{\circ} \).

\( 90^{\circ} + \angle AMB = 180^{\circ} \).

\[ \angle AMB = 90^{\circ} \]

Следовательно, \( \triangle ABM \) — прямоугольный.

По свойству биссектрисы, \( \angle BAM = \angle DAM \). Из параллельности \( AD \parallel BC \), \( \angle DAM = \angle AMB \) (накрест лежащие). Значит, \( \angle BAM = \angle AMB \), поэтому \( \triangle ABM \) — равнобедренный, и \( AB = BM \).

Аналогично, \( \angle ABM = \angle MBC \). Так как \( AB — BC \) секущая, \( \angle ABM = \angle BMC \) (накрест лежащие) — это неверно. \( \angle ABM = \angle CBM \) по условию биссектрисы. \( \angle ABM = \angle BAM \) (накрест лежащие) — неверно.

Еще раз: \( ∠ DAM = ∠ AMB \) (накрест лежащие). \( ∠ BAM = ∠ DAM \) (биссектриса). Следовательно, \( ∠ BAM = ∠ AMB \), значит \( ∇ ABM \) равнобедренный, \( AB = BM \).

Поскольку \( M \) лежит на \( BC \), \( BM = BC \).

Дано: \( AB = 7 \).

Так как \( AB = BM \) и \( M \) лежит на \( BC \), то \( BC = 7 \).

В параллелограмме противоположные стороны равны: \( AD = BC = 7 \) и \( CD = AB = 7 \).

Периметр параллелограмма \( P = 2(AB + BC) \).

\( P = 2(7 + 7) = 2(14) = 28 \).

Ответ: Периметр параллелограмма равен 28.