8. Дано: ∠B=∠D, BE=7, ED=21, AE=15. Доказать: △ABE ∼ △CDE. Найдите: а) EC, б) S△ABE/S△DCE.

Углы \(\angle AEB\) и \(\angle CED\) — вертикальные, поэтому равны. По условию \(\angle B=\angle D\). Следовательно, \(\triangle ABE\sim\triangle CDE\) по двум углам; соответствие вершин: \(A\leftrightarrow C\), \(B\leftrightarrow D\), \(E\leftrightarrow E\).

Коэффициент подобия первого треугольника ко второму равен \(\dfrac{BE}{DE}=\dfrac{7}{21}=\dfrac13\).

а) Стороны \(AE\) и \(CE\) соответствуют, значит \(\dfrac{AE}{CE}=\dfrac13\). Тогда \(CE=15\cdot3=45\).

б) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\(\dfrac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle DCE}}=\left(\dfrac13\right)^2=\dfrac19\).

Ответ: а) \(EC=45\); б) \(\dfrac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle DCE}}=\dfrac19\).