8) Дано: BM = 5 см. Найти: ME. На рисунке ∠ABM = 90°, ∠BAC = 60°, AM = MC и отмечено, что ∠BME = ∠EMC.

Так как AM = MC и A, M, C лежат на одной прямой, M — середина AC. Условие ∠BME = ∠EMC означает, что ME — биссектриса угла BMC.

Рассмотрим △ABM. ∠ABM = 90°, а ∠BAM = ∠BAC = 60°, поэтому ∠AMB = 30°. В прямоугольном треугольнике BM — катет, лежащий напротив угла 60°, а AM — катет напротив угла 30°. Следовательно, BM = AM√3, откуда AM = 5/√3.

В △BMC имеем BM = 5, MC = AM = 5/√3, а ∠BMC = 180° − ∠AMB = 150°. Длина биссектрисы из M к BC равна

ME = 2·BM·MC·cos(∠BMC/2)/(BM + MC).

Подставим значения:

ME = 2·5·(5/√3)·cos 75°/(5 + 5/√3) = 5(3 − √3)/6 см.

Ответ: ME = 5(3 − √3)/6 см ≈ 1,06 см.