8 Докажите, что через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной.

Доказательство:

Пусть дана прямая a и точка M, не лежащая на прямой a.

1. Проведем через точку M секущую b, которая пересекает прямую a в некоторой точке K.
2. При пересечении прямых a и b образуется угол ∠1 (например, накрест лежащий или соответственный с одним из углов при точке K).
3. Построим угол ∠2 при точке M, равный углу ∠1, так, чтобы ∠2 был накрест лежащим (или соответственным) с ∠1. Это можно сделать, например, построив угол, равный углу при точке K, с вершиной в точке M.
4. Так как ∠2 = ∠1, и эти углы являются накрест лежащими (или соответственными) при пересечении прямых a и c (где c — прямая, содержащая угол ∠2), то по признаку параллельности прямых, прямая c параллельна прямой a.
5. Таким образом, через точку M прошла прямая c, параллельная прямой a.

Что и требовалось доказать.